Question

【题目】 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD= ，PA⊥PD，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AB=BC=1，O为AD中点．

(1) 求直线PB与平面POC所成角的余弦值;

(2)线段上是否存在一点,使得二面角的余弦值为?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】 (1) .(2)存在,.

【解析】试题分析：由PA=PD, O为AD中点，侧面PAD⊥底面ABCD，可得PO⊥平面ABCD.又在直角梯形ABCD中,易得,所以可以O为坐标原点,OC为x轴,OD为y轴, OP为z轴建立空间直角坐标系，然后利用空间向量求解.

试题解析：(1)在中，，为AD的中点，所以,

侧面PAD底面ABCD,PO面ABCD.又在直角梯形ABCD中，连接,则,以O为坐标原点，直线OC为X轴，直线OD为Y轴,直线为Z轴建立空间直角坐标系.,,,

所以，直线PB与平面所成角的余弦值为.

(2) 假设存在，则设=λ（0＜λ＜1）

因为=（0，1，﹣1），所以Q（0，λ，1﹣λ）．

设平面CAQ的法向量为=（a，b，c），则，

所以取=（1﹣λ，λ﹣1，λ+1），

平面CAD的法向量=（0，0，1），

因为二面角Q﹣AC﹣D的余弦值为，

所以=，

所以3λ2﹣10λ+3=0．

所以λ=或λ=3（舍去），

所以=.