Question

【题目】已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的离心率为 ，A（a，0），B（0，b），O（0，0），△OAB的面积为4，
（1）求椭圆的标准方程
（2）设直线l：y=kx+1与椭圆C相交于P，Q两点，是否存在这样的实数k，使得以PQ为直径的圆过原点，若存在，请求出k的值：若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意得： 解得

所以椭圆的标准方程为

（2）解：假设存在这样的实数k，使其满足题意，设P（x1，y1），Q（x2，y2）

联立方程组 ，

消去y得：（1+4k2）x2+8kx﹣12=0，

由题意得：x1、x2是此方程的解

所以 ∴

因为PQ为直径的圆过原点，

所以 ，即

解得 ，所以假设不成立，

所以，不存在这样的实数k，使得以PQ为直径的圆过原点

【解析】（1）利用已知条件列出列出求解椭圆的几何量求解椭圆的标准方程．（2）假设存在这样的实数k，使其满足题意，设P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2），联立方程组 ，利用韦达定理，以及 ，转化求解即可．
【考点精析】通过灵活运用椭圆的标准方程，掌握椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：即可以解答此题．