Question

【题目】如图，O坐标原点，从直线yx+1上的一点作x轴的垂线，垂足记为Q1，过Q1作OP1的平行线，交直线yx+1于点，再从P2作x轴的垂线，垂足记为Q2，依次重复上述过程得到一系列点：P1，Q1，P2，Q2，…，Pn，Qn，记Pk点的坐标为，k＝1，2，3，…，n，现已知x1＝2．

（1）求Q2、Q3的坐标；

（2）试求xk（1≤k≤n）的通项公式；

（3）点Pn、Pn+1之间的距离记为|PnPn+1|（n∈N*），是否存在最小的正实数t，使得t对一切的自然数n恒成立？若存在，求t的值，若不存在，请说明理由

Answer 1

【答案】(1) Q2（6，0），Q3（14，0）；(2)，1≤k≤n； (3)存在，．

【解析】

（1）首先根据OP1∥P2Q1，计算出Q2的坐标，再根据OP1∥P3Q2即可计算出Q3的坐标。

（2）由Pk（xk，xk+1），Qk﹣1（xk﹣1，0），OP1∥PkQk﹣1，可得1，化为xk＝2xk﹣1+2，利用配凑法即可计算出通项式，

（3）利用|PnPn+1||xn+1﹣xn||2n+2﹣2n+1|2n，可得（）（1）。

（1）x1＝2，即有P1（2，2），，Q1（2，0），P2（x2，x2+1），OP1∥P2Q1，

可得1，解得x2＝6，则Q2（6，0），由P2（6，4），P3（x3，x3+1），

OP1∥P3Q2，可得1，解得x3＝14，Q3（14，0）；

（2）由Pk（xk，xk+1），Qk﹣1（xk﹣1，0），

OP1∥PkQk﹣1，可得

1，化为xk＝2xk﹣1+2，

即为xk+2＝2（xk﹣1+2），

可得数列{xk+2}为首项是4，公比为2的等比数列，

则xk+2＝42k﹣1，

可得，1≤k≤n；

（3）|PnPn+1|

|xn+1﹣xn||2n+2﹣2n+1|2n，

（）（1），

假设存在最小的正实数t，使得t对一切的自然数n恒成立，

可得t，故存在这样的t，且t的最小值为．