Question

【题目】如图，在正方体中，点是底面的中心，是线段的上一点。

（1）若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值；

（2）能否存在点使得平面平面，若能，请指出点的位置关系，并加以证明；若不能，请说明理由。

Answer 1

【答案】(1) (2)见证明

【解析】

（1）建立空间坐标系得到直线的方向向量和面的法向量，再由向量的夹角公式得到结果；（2）建立坐标系得到两个面的法向量，再由法向量互相垂直得到结果.

不妨设正方体的棱长为2，以，，分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，.

（1）因为点是的中点，

所以点的坐标为.

所以，，.

设是平面的法向量，则，

即.

取，则，所以平面的一个法向量为.

所以 .

所以直线与平面所成角的正弦值为.

（2）假设存在点使得平面平面，设.

显然，.

设是平面的法向量，则，即，

取，则，，所以平面的一个法向量为.

因为，所以点的坐标为.

所以，.

设是平面的法向量，则，即.

取，则，所以平面的一个法向量为.

因为平面平面，所以，即，，解得.

所以的值为2.即当时，平面平面.