Question

【题目】四棱锥中，底面为平行四边形，侧面 ，分别是的中点，已知，，，.

（Ⅰ）证明：平面；

（Ⅱ）证明：；

（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（I）证明见解析；（II）证明见解析；(III) .

【解析】

（I）取中点，连结，可证明平面，平面，可得平面平面，由面面平行的性质可得结果；（II）作，垂足为，连结，由面面垂直的性质可得，由等腰直角三角形的性质可得，可得平面，从而可得结果；(III)求出 ，的面积，的面积，设到平面的距离为，由， 可得，进而可得结果.

（I）取中点，连结，

分别是的中点，底面平行四边形，

，

因为平面平面,

平面平面,

平面，平面，

又因为

平面平面，

平面，

平面；

（II）作，垂足为，连结，

侧面底面，

底面，所以，

，

又，故为等腰直角三角形，.

平面，，即.

(III)由（II）可知，故，由，可得，

的面积，

连接，得的面积，

设到平面的距离为，

由，得，解得，

设与平面成的角为，

则，直线与平面成的角的正弦值为.