Question

【题目】已知函数（其中）.

（1）讨论函数的极值；

（2）对任意，成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(1) ①当时，无极值；②当时，有极大值，无极小值；(2) .

【解析】

（1）先对函数求导，分别讨论，两种情况，用导数的方法研究函数的单调性，即可得出结果；

（2）根据（1）中结果，求出的最大值，由对任意，成立，得到在上恒成立，令 ，用导数的方法研究其单调性，进而可求出结果.

（1）的定义域为

又

①当时，在上，，是减函数；无极值；

②当时，得

在上，是增函数；在上，，是减函数，

所以当时，有极大值，无极小值，

综合知：①当时，无极值；

②当时，有极大值，无极小值；

（2）由（1）知：①当，是增函数，又令，

，不成立；

②当时，当时，取得极大值也是最大值，

所以

要使得对任意，成立，

即：在上恒成立，

则在上恒成立，

令

所以

令

，得

在上，，是增函数，在上，，

是减函数，

所以当时，取得极大值也是最大值，

∴

在上，，是减函数，又

要使得恒成立，则.

所以实数的取值范围为