Question

【题目】在直角梯形ABCD中（如图1），，，，，，点E在CD上，且，将沿AE折起，使得平面平面ABCE（如图2），G为AE中点．

（Ⅰ）求四棱锥的体积；

（Ⅱ）在线段BD上是否存在点P，使得平面ADE？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）存在，

【解析】

（Ⅰ）根据平面与平面垂直的性质定理得到平面ABCE，再根据椎体的体积公式计算可得结果；

（Ⅱ）过点C作交AB于点F，过点F作交DB于点P，连接PC，可证得平面平面ADE，再根据平面与平面平行的性质可得平面ADE，最后根据平面几何知识可求得比值.

（Ⅰ）证明：因为G为AE中点，，所以．

因为平面平面ABCE，平面平面，

平面ADE，所以平面ABCE．

在直角三角形ADE中，易求，

则，

所以四棱锥的体积．

（Ⅱ）在BD上存在点P，使得平面ADE且，

过点C作交AB于点F，过点F作交DB于点P，连接PC，

如图所示：

因为，平面ADE．平面ADE，所以平面ADE，

同理平面ADE，

又因为，所以平面平面ADE．

因为平面CFP，所以平面ADE．

所以在BD上存在点P，使得平面ADE．

因为四边形AECF为平行四边形．

所以，即，

故.

所以在BD上存在点P，使得平面ADE且.