Question

【题目】已知函数，对于函数有下述四个结论：

①函数在其定义域上为增函数；

②对于任意的，都有成立；

③有且仅有两个零点；

④若在点处的切线也是的切线，则必是零点．

其中所有正确的结论序号是（ ）

A.①②③B.①②C.②③④D.②③

Answer 1

【答案】C

【解析】

利用特殊值法可判断①的正误；推导出当时，从而可判断②的正误；利用导数研究函数的单调性，结合零点存在定理可判断③的正误；利用导数的几何意义得出等式，进而可判断④的正误.综合可得出结论.

，，

所以，函数在其定义域上不是增函数，①错；

∵当时，则，因此成立，②对；

函数的定义域为，且，

所以，函数在区间和上均为增函数，

，，

，即函数在区间上有且仅有个零点．

，，，

所以，函数区间上有且仅有个零点．

因此，函数有且仅有两个零点，③对；

在点处的切线的方程．

又也是的切线，设其切点为，则的斜率，

从而直线的斜率，，即切点为，

又点在上，，

即必是函数的零点，④对．

故选：C.