Question

如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为直角梯形，且AD∥BC，∠ABC＝∠PAD＝90°，侧面PAD⊥底面ABCD，若PA＝AB＝BC＝，AD＝1.

（I）求证：CD⊥平面PAC；
（II）求二面角A－PD－C的余弦值.

Answer 1

（I）见解析；（II）.

解析试题分析：（I）先根据已知条件证明，那么就有，在根据题中已知边的长度，由勾股定理证明，根据直线与平面垂直的判定定理即可证明；（II）设为中点，连结，过作于，证明是二面角的平面角.再由，解得和的值，求的余弦值即可.
试题解析：（I）∵，∴.
又∵，，且，
∴. 
又，∴.                             3分
在底面中，∵，，
∴，有，∴.
又∵， ∴.                     6分
（II）设为中点，连结，则.

又∵，，
，∴.
∵，∴.
过作于，
∵，∴，
∴，∴是二面角的平面角.          9分
由已知得，， ∴.
由得，，∴，
∴，
∴.
即二面角的余弦值为.                           12分
考点：1、直线与平面垂直的判定定理；2、勾股定理的应用；3、构造二面角；4、平面与平面垂直的性质定理；5、解三角形.