Question

如图,在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中,侧面AA₁B₁B⊥底面ABC,侧棱AA₁与底面ABC成60°的 角,AA₁=2.底面ABC是边长为2的正三角形,其重心为G点,E是线段BC₁上一点,且BE=3(1)BC₁.

(1)求证:GE∥侧面AA₁B₁B;
(2)求平面B₁GE与底面ABC所成锐二面角的正切值;
(3)求点B到平面B₁GE的距离.

Answer 1

（1）详见解析；（2）；（3）

解析试题分析：（1）证明直线和平面平行的方法一般有两种，其一是利用线面平行的判定定理，在平面内找一条直线和平面外的直线平行，其二是利用面面平行的性质定理，先证明面面平行，其次说明线和面平行，延长交于点，则是中点，所以三点共线，根据线段成比例，可证明∥，从而可证明GE∥侧面AA₁B₁B；（2）以为坐标原点，的方向为轴，建立坐标系，再求半平面的法向量，再求其夹角，进而可得二面角的余弦值，再转换为正切值；（3）点到面的距离是点到平面垂线段的长度，如果垂足不好确定，可考虑等体积转换，点到面的距离就是点到面的距离，设为，利用，可求.
试题解析：(1)延长B₁E交BC于点F,∽△FEB,BE=EC₁,∴BF=B₁C₁=BC, 从而点F为BC的中点，∵G为△ABC的重心,∴A、G、F三点共线.且, 又GE侧面AA₁B₁B,∴GE//侧面AA₁B₁B；
（2）取中点，则面，以为坐标原点，的方向为轴，建立坐标系，则,,,,
,. ∵G为△ABC的重心,
∴.,∴, 设平面B₁GE的法向量为,则由得可取又底面ABC的一个法向量为， 设平面B₁GE与底面ABC所成锐二面角的大小为,则，由于为锐角,所以,进而， 故平面B₁GE与底面ABC成锐二面角的正切值为；   
（3）由题意点到面的距离就是点到面的距离，设为，易求得
,,又，∴，，
考点：1、直线和平面平行的判定；2、二面角的求法；3、点到面的距离.