Question

【题目】如图，在直角梯形中，，，是上一点，，现沿将折起到的位置，并使平面，点在边上，且满足.

（1）证明：平面；

（2）若，，，求二面角的大小.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）.

【解析】

（1）连接交于点，由矩形的性质及三角形的中位线定理得，再根据直线与平面平行的判定定理即可证明；（2）通过建立空间直角坐标系，利用平面的法向量即可求出二面角的大小.

解：（1）连接交于点，连接，

由已知可得四边形是矩形，

为的中点，

又，为的中点，

，

平面，平面，

平面.

（2）由（1）及平面可知两两相互垂直，故以为原点，以所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，

则，，，，，

易知平面的一个法向量为，

，，

设平面的法向量为，

则由

得

令，解得.

，

由图可知二面角为锐二面角，

二面角的大小为.