Question

【题目】在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（其中为参数）曲线的普通方程为，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求曲线和曲线的极坐标方程；

（2）射线:依次与曲线和曲线交于、两点，射线:依次与曲线和曲线交于、两点，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）的极坐标方程为，的极坐标方程为；（2）.

【解析】

（1）将两曲线的方程均化为普通方程，然后由可将两曲线的方程化为极坐标方程；

（2）作出图形，设点、的极坐标分别为、，将这两点的极坐标代入椭圆的极坐标方程可得出、的表达式，可得出，利用基本不等式可求出的最大值.

（1）由曲线的参数方程为（其中为参数），

所以曲线的普通方程为，

由则曲线的极坐标方程为.

又曲线的普通方程为，

由，得曲线的极坐标方程为；

（2）如图，由题意知，

点、的极坐标分别为、，

将这两点的极坐标代入椭圆的极坐标方程得，

，

，

，

当且仅当，即，不等式取等号，

因此，的最大值为.