Question

【题目】已知各项均大于1的数列{an}满足：a1= ，an+1= （an+ ），（n∈N*），bn=log5 ．
（1）证明{bn}为等比数列，并求{bn}通项公式；
（2）若cn= ，Tn为{cn}的前n项和，求证：Tn＜6．

Answer 1

【答案】
（1）证明：由an+1= （an+ ），可得：

bn+1=log5 =log5 =log5（ ）2=2log5 ，

即有 = =2，

则{bn}是首项为b1=log5 =1，公比为2的等比数列；

且bn=b1qn﹣1=2n﹣1；

（2）证明：cn= = =（n+1）（ ）n﹣1，

可得Tn=21+3 +4（ ）2+…+（n+1）（ ）n﹣1，

Tn=2 +3（ ）2+4（ ）3+…+（n+1）（ ）n，

两式相减可得， Tn=2+[ +（ ）2+（ ）3+…+（ ）n﹣1]﹣（n+1）（ ）n

=2+ ﹣（n+1）（ ）n=3﹣ ﹣ ，

则Tn=6﹣ ＜6成立．

【解析】（1）运用对数的运算性质，结合等比数列的定义，可得 =2，即可得证，再由等比数列的通项公式即可得到所求；（2）求得cn= =（n+1）（ ）n﹣1 ， 运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式可得Tn ， 由不等式的性质即可得证．
【考点精析】本题主要考查了等比数列的通项公式（及其变式）和数列的前n项和的相关知识点，需要掌握通项公式：；数列{an}的前n项和sn与通项an的关系才能正确解答此题．