Question

已知AB、CD为异面线段，E、F分别为AC、BD中点，过E、F作   平面α∥AB．
（1）求证：CD∥α；
（2）若AB=4，EF=，CD=2，求AB与CD所成角的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）连接AD交α于G，连接GF，由线面平行的性质定理，可得AB∥GF，进而由线面平行的判定定理可证得CD∥α；
（2）根据平行角定理，结合（1）中结论可得∠EGF与AB，CD所成的角相等或互补，根据已知解三角形△EGF可得答案．
解答：证明：（1）如图，连接AD交α于G，连接GF
∵平面α∥AB
平面ADB∩α=GF
∴AB∥GF
又∵F为BD中点，
∴G为AD中点
又∵AC，AD相交，平面ACD∩α=EG，E为AC中点，G为AD中点
∴EG∥CD
又EG?α，CD?α
∴CD∥α；
解：（2）由（1）可得EG∥CD且EG=CD，GF∥AB且GF=AB
∴∠EGF与AB，CD所成的角相等或互补
∵AB=4，EF=，CD=2，
∴EG=1，
在△EGF中，由勾股定理，得∠EGF=90°
即AB与CD所成角为90°
点评：本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，异面直线及其所成的角，熟练掌握空间线面关系的判定及性质，会用平移法构造异面直线所成的角是解答的关键．