Question

$设曲线C的方程为x²+=1,过点M(0,1)的直线l交C于点A、B,O是坐标原点,点P满足=(+),点N的坐标为(,).当l绕点M旋转时,求:

(1)动点P的轨迹方程;

(2)||的最小值与最大值.

Answer 1

解:(1)直线l过点M(0,1),设其斜率为k,则l的方程为y=kx+1.

设A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂),

由方程组

将（1）代入（2）并化简,得(4+k²)x²+2kx-3=0.

所以

于是=(+)=()=().

设点P的坐标为(x,y),则消去参数k得4x²+y²-y=0.                    （3）

当k不存在时,A、B中点为坐标原点(0,0),也满足方程（3）.

所以点P的轨迹方程为4x²+y²-y=0.

(2)由点P的轨迹方程知x²≤,

即-≤x≤.

所以||²=(x-)²+(y-)²=(x-)²+-4x²=-3(x+)²+.故当x=时,||取得最小值,最小值为;

当x=-时,||取得最大值,最大值为.