Question

【题目】在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 = ．
（1）求 的值
（2）若cosB= ，b=2，求△ABC的面积S．

Answer 1

【答案】
（1）解：由正弦定理，则 = ，

所以 = ，

即（cosA﹣2cosC）sinB=（2sinC﹣sinA）cosB，化简可得sin（A+B）=2sin（B+C）．

因为A+B+C=π，所以sinC=2sinA．

因此 =2．

（2）解：由 =2，得c=2a，由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，及cosB= ，b=2，

得4=a2+4a2﹣4a2× ．解得a=1，从而c=2．

因为cosB= ，且sinB= = ，

因此S= acsinB= ×1×2× = ．

【解析】（1）由正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式化简已知可得sinC=2sinA，即可得解 =2．（2）由正弦定理可求c=2a，由余弦定理解得a=1，从而c=2．利用同角三角函数基本关系式可求sinB的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解．