Question

【题目】如图，圆台的轴截面为等腰梯形，圆台的侧面积为.若点分别为圆上的动点，且点在平面的同侧.

（1）求证:；

（2）若，则当三棱锥的体积取最大值时，求与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）.

【解析】

（1）根据圆台侧面积公式可以求出上下两底面的半径，根据线面垂直的性质、直角三角形的判断方法进行证明即可；

（2）根据三棱锥的体积公式，结合基本不等式确定点位置，建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.

（1）证明:设圆的半径分别为

因为圆台的侧面积为，

所以，可得

因此，在等腰梯形中，.

如图，连接线段，

在圆台中，平面平面，

所以.

又，

所以在中，.

在中，，

故，即.

（2）解:由题意可知，三棱锥的体积为

又在直角三角形中，

所以当且仅当，

即点为弧的中点时，有最大值

连接，因为平面，

所以以为坐标原点，

分别以的方向为轴建立如图所示的空间直角坐标系.

点，

由可知，

设平面的法向量

则，，

取，

则

所以与平面所成角的正弦值为