Question

【题目】已知是定义域为的奇函数，且.

（1）求的解析式；

（2）证明在区间上是增函数；

（3）求不等式的解集.

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析；（3）.

【解析】试题分析：（1）由是定义域为的奇函数可得，再由，解得，可求函数的解析式；（2）任取，将分解因式，可证明，从而可得结论；（3）根据在区间上是增函数，结合函数的定义域列不等式组求解即可.

试题解析：（1）由题意可得，∴，

∴，解得，∴.

（2）设，则，

∵，∴， ， ，

∴，即，∴在上是增函数.

（3）由得，即，

由已知及（2）可得，解得，

∴原不等式的解集为.

【方法点晴】本题主要考查抽象函数的定义域、函数的单调性及利用单调性函数解不等式，属于难题. 利用单调性函数解不等式应注意以下三点：（1）一定注意函数的定义域（这一点是同学们容易疏忽的地方，不能掉以轻心）；（2）注意应用函数的奇偶性（往往需要先证明是奇函数还是偶函数）；（3）化成 后再利用单调性和定义域列不等式组..