Question

【题目】已知（）．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）若不等式在时恒成立，求最小正整数，并给出证明．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）最小正整数等于5.

【解析】试题分析:（1）利用分析法证不等式:两边平方,整理转化,再平方即得已知事实（2）先逐个代入验证并归纳猜想最小正整数.再利用数学归纳法进行证明: 当时，利用放缩及归纳假设得,即可证明

试题解析：证明：（Ⅰ）要证：

即证：

只需证：

即证：

只需证：

只需证：

上式显然成立

不等式成立.

（Ⅱ）即

当时，左边=，右边=，不等式不成立；

当时，左边=，右边=，不等式不成立；

当时，左边=，右边=，不等式不成立；

当时，左边=，右边=，不等式不成立；

当时，左边=，右边=，不等式成立；

当时，左边=，右边=，不等式成立；

故猜想最小正整数.

下面证明时成立：

证法一：（数学归纳法）

①当时，左边=，右边=，不等式成立

②假设当时，不等式成立，即,

则当时，

当时，显然

故

即时不等式成立

综上，不等式在时恒成立，且最小正整数等于5.

证法二：当时，

由

得

即

所以，不等式在时恒成立，且最小正整数等于5.