Question

已知函数f(x)=

px2+2

q-3x

是奇函数，且f(2)=-

5

3

．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）用定义证明函数f（x）在（0，1）上的单调性．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求函数f（x）的解析式可根据函数是奇函数得出等式f（-x）=-f（x），及f(2)=-

5

3

建立方程，两者联立可求出函数的解析式．
（Ⅱ）用定义证明函数f（x）在（0，1）上的单调性，要设0＜x₁＜x₂＜1，再f（x₁）-f（x₂）的符号，依据定义判断出结论即可．

解答：解：（Ⅰ）因为f（x）是奇函数，所以对定义域内的任意x，都有∴f（-x）=-f（x），
即

px2+2

q+3x

=-

px2+2

q-3x

（2分）
整理得q+3x=-q+3x，所以q=0．又因为f(2)=-

5

3

，
所以f(2)=

4p+2

-6

=-

5

3

，解得p=2．
故所求解析式为f(x)=

2x2+2

-3x

．（6分）
（Ⅱ）由（1）得f(x)=

2x2+2

-3x

=-

2

3

(x+

1

x

)．
设0＜x₁＜x₂＜1，则f(x1)-f(x2)=

2

3

[(x2+

1

x2

)-(x1+

1

x1

)]═

2

3

(x1-x2)×

1-x1x2

x1x2

．（10分）
因为0＜x₁＜x₂＜1，所以0＜x₁x₂＜1，x₁-x₂＜0，1-x₁x₂＞0，
从而得到f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
所以函数f（x）在（0，1）上是增函数．（14分）

点评：本题 考查函数奇偶性的性质，利用函数的奇偶性建立方程求参数，这是奇偶性的一个重要应用，做对本题的关键是根据定义转化出正确的方程，利用定义法证明单调性时，要注意做题格式，及判号时要严谨．