Question

【题目】如图，设椭圆的中心为原点，长轴在轴上，上顶点为，左、右焦点分别为，线段的中点分别为，且是面积为的直角三角形.

（1）求该椭圆的离心率和标准方程；

（2）过作直线交椭圆于两点，使，求的面积.

Answer 1

【答案】（1），；（2）.

【解析】

试题分析：（1）根据是面积为的直角三角形，，可知为直角，从而，即，又，消去即得离心率，可得，从而求得椭圆方程；（2）设直线的方程为，代入椭圆方程可得，根据韦达定理，可得，写出的坐标，由于，据此可求得的值，因为的面积，所以求出即得的面积.

试题解析：（1）设椭圆的方程为，，∵是面积为的直角三角形，，∴为直角，从而，得，∵

，在中，，∴，∵

，∴椭圆标准方程为.

（2）由（1）知，由题意，直线的倾斜角不为，故可设直线的方程为，代入椭圆方程，消元可得，①

设，∵，

∴，∵，∴，∴，当时，①可化为，

∴，

∴的面积.