Question

【题目】已知曲线，直线（其中）与曲线相交于、两点.

（Ⅰ）若，试判断曲线的形状.

（Ⅱ）若，以线段、为邻边作平行四边形，其中顶点在曲线上， 为坐标原点，求的取值范围.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)答案见解析；(Ⅱ) .

【解析】试题分析：

(Ⅰ)结合所给的方程讨论可得：

当时，曲线的形状为直线，

当时，曲线表示以焦点在轴上，以为实轴，以为焦距的双曲线，

当时，表示焦点在轴上，以为长轴，以为焦距的椭圆，

当时，表示焦点在轴上，以为长轴，以为焦距的椭圆，

当时，表示圆心在原点，以为半径的圆．

(Ⅱ)当时，曲线方程为： ，分类讨论：

当时， ，

当时，联立直线与椭圆的方程，消去整理变形，结合题意可得，结合，可得的取值范围是．

试题解析：

（Ⅰ）当时， ， ，曲线的形状为直线，

当时， ，表示以焦点在轴上，以为实轴，

以为焦距的双曲线，

当时， ，

当，即时，表示焦点在轴上，以为长轴，以为焦距的椭圆，

当，即时，表示焦点在轴上，以为长轴，以为焦距的椭圆，

当，即时，表示圆心在原点，以为半径的圆．

（Ⅱ）当时，曲线方程为： ，

当时， 在椭圆上，计算得出，

∴，

当时，则，消去化简整理得：

，

①，

设， ， 的坐标分别为， ， ，

则， ，

因为点在椭圆上，所以，

从而，化简得： ，

经检验满足①式，

又，

∵，∴，

∴，

∴，

综上， 的取值范围是．