Question

已知函数f₁(x)=3^|x-p₁|，f₂(x)=2·3^|x-p₂|（x∈R，p₁，p₂为常数），函数f(x)定义为：对每个给定的实数x，，
(Ⅰ)求f(x)=f₁(x)对所有实数x成立的充分必要条件（用p₁，p₂表示）；
(Ⅱ)设a，b是两个实数，满足a＜b，且p₁，p₂∈(a，b)．若f(a)=f(b)，求证：函数f(x)在区间[a，b]上的单调增区间的长度之和为（闭区间[m，n]的长度定义为n-m）。

Answer 1

解：(Ⅰ)由f(x)的定义可知，f(x)=f₁(x)（对所有实数x）等价于f₁(x)≤f₂(x)（对所有实数x），
这又等价于3^|x-p₁|≤2·3^|x-p₂|，即3^{|x-p₁|-|x-p₂|}≤2对所有实数x均成立，（*）
易知函数|x-p₁|-|x-p₂|(x∈R)的最大值为|p₂-p₁| ，
故（*）等价于3^|p₂-p₁|≤2，即|p₂-p₁|≤log₃2，这就是所求的充分必要条件．
(Ⅱ)分两种情形讨论．
(ⅰ)当|p₁-p₂|≤log₃2时，由(Ⅰ)知f(x)=f₁(x)（对所有实数x∈[a，b]），
则由f(a)=f(b)及a＜p₁＜b易知，
再由的单调性可知，
f(x)在区间[a，b]上的单调增区间的长度为，如下图，

(ⅱ)当|p₁-p₂|＞log₃2时，不妨设p₁＜p₂，则p₂-p₁＞log₃2，
于是，当x≤p₁时，有f₁(x)=3^p₁-x＜3^p₂-x＜f₂(x)，从而f(x)=f₁(x)；
当x≥p₂时，f₁(x)=3^x-p₁=3^p₂-p₁·3^x-p₂＞3^log₃2·3^x-p₂=f₂(x)，从而f(x)=f₂(x)；
当p₁＜x＜p₂时，f₁(x)=3^x-p₁及f2(x)=2·3^p₂-x，
由方程3^x₀-p₁=2·3^p₂-x₀，
解得f₁(x)与f₂(x)图象交点的横坐标为，①
显然，
这表明x₀在p₁与p₂之间，
由①易知；
综上可知，在区间[a，b]上， 如下图所示，

故由函数f₁(x)与f₂(x)的单调性可知，f(x)在区间[a，b]上的单调增区间的长度之和为（x₀-p₁）+（b-p₂），由于f(a)=f(b)，即3^p₁-a=2·3^b-p₂，得 p₁+p₂=a+b+log₃2，②
故由①、②得；
综合(ⅰ)、(ⅱ)可知，f(x)在区间[a，b]上的单调增区间的长度之和为。