Question

【题目】如图，平面平面，为矩形，为等腰梯形，，分别为，中点，，，．

（1）证明：平面；

（2）求二面角的正弦值；

（3）线段上是否存在点，使得平面，若存在求出的长，若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）；（3）不存在这样的，理由详见解析．

【解析】

（1）连接，利用三角形中位线性质可得，进而可证平面；

（2）建立空间坐标系，求出两个平面的法向量，利用向量夹角公式及平方关系可得二面角的正弦值；

（3）假设存在点，根据表示出点的坐标，利用得出矛盾，进而得到结论.

（1）连接，∵，为，中点，

∴，

又∵平面，

平面，

∴平面．

（2）过点作，垂足为，

以为坐标原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，

，，，，

设平面的一个法向量为，

，，，

令，∴，，∴．

设平面的一个方向量为，

∴，，

二面角的正弦值为．

（3）假设存在这样一点，设，由（2）知，，平面的法向量.

设，即，

∴，，，即，

，

∵平面，∴，

∴，

∴，且，即不存在这样的，

∴线段上不存在点，使得平面．