Question

【题目】如图，在四棱锥中，是等边三角形，，，.

（1）若，求证：平面；

（2）若，求二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）作，交于，连接，分别证明平面，平面，进而可证明平面平面，可得平面；

（2）计算可知，所以，结合，可知平面，从而可知平面平面，在平面内作平面，以B点为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的法向量，平面的法向量，再结合，可求出.

（1）如图，作，交于，连接.

因为，所以是的三等分点，可得.

因为，，，所以，

因为，所以，

因为，所以，所以，

因为，所以，所以，

因为平面，平面，所以平面.

又，平面，平面，所以平面.

因为，、平面，所以平面平面，所以平面.

（2）因为是等边三角形，，所以.

又因为，，所以，所以.

又，平面，，所以平面.

因为平面，所以平面平面.

在平面内作平面，以B点为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，

所以，，，.

设为平面的法向量，则，即，

令，可得.

设为平面的法向量，则，即，

令，可得.

所以，则，

所以二面角的正弦值为.