Question

【题目】已知，函数，其中e=2.71828…为自然对数的底数．

（Ⅰ）证明：函数在上有唯一零点；

（Ⅱ）记x0为函数在上的零点，证明：

（ⅰ）；

（ⅱ）．

Answer 1

【答案】（I）证明见解析，（II）（i）证明见解析，（ii）证明见解析.

【解析】

（I）先利用导数研究函数单调性，再结合零点存在定理证明结论；

（II）（i）先根据零点化简不等式，转化求两个不等式恒成立，构造差函数，利用导数求其单调性，根据单调性确定最值，即可证得不等式；

（ii）先根据零点条件转化：，再根据放缩，转化为证明不等式，最后构造差函数，利用导数进行证明.

（I）在上单调递增，

，

所以由零点存在定理得在上有唯一零点；

（II）（i），

，

令

一方面： ，

在单调递增，，

，

另一方面：，

所以当时，成立，

因此只需证明当时，

因为

当时，，当时，，

所以，

在单调递减，，，

综上，.

（ii），

，，

，因为，所以，

，

只需证明，

即只需证明，

令，

则，

，即成立，

因此.