Question

【题目】在四棱锥中，为梯形，，，，，，.

（1）在线段上有一个动点，满足且平面，求实数的值；

（2）已知与的交点为，若，且平面，求二面角平面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）通过线面平行，得到线线平行，从而得到；

（2）先利用面面垂直得出线面垂直，建立坐标系，利用向量求出二面角.

（1）延长、交于点.连接，如图，

，平面，平面 平面,

.

在梯形中，，，所以,所以,即.

（2）在梯形中,

所以,即.所以.

因为,所以.

因为所以 ，所以，

由勾股定理.

又因为.，同理.

又因为.且平面平面 ，所以 平面.

从而直线PM，直线，直线相互垂直，

以为原点，分别以，,所在直线分别为，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，

易得，，

设平面的法向量为，易得，

从而解得，，

令可得.易知平面的法向量为

则，

所以二面角平面角的余弦值为.