Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，已知点到抛物线焦点的距离为．

（1）求的值；

（2） 设是抛物线上异于的两个不同点，过作轴的垂线，与直线交于点，过作轴的垂线，与直线交于点，过作轴的垂线，与直线分别交于点．

求证：①直线的斜率为定值；

②是线段的中点．

Answer 1

【答案】(1) ，..

(2) ①证明见解析. ②证明见解析.

【解析】分析：（1）由抛物线定义知，所以，将点代入抛物线得，；(2) 设求得,,利用斜率公式消去、可得直线的斜率为；②设点的横坐标分别为，求得，，根据中点坐标公式化简即可的结果.

详解：（1）由抛物线定义知，

所以，

将点代入抛物线得，

（2）设

①则直线的方程为：

令得，，所以

同理

所以直线的斜率为（定值）

②设点的横坐标分别为

由①知，直线的方程为：

令得，

又直线的方程为：

令得，

所以

所以是线段的中点.