设P1(x1,y1),P2(x2,y2),-,Pn(xn,yn)(n≥3,n∈N)是二次曲线C上的点.且a1=|OP1|2,a2=|OP2|2,-,an=|OPn|2构成了一个公差为d的等差数列.其中O是坐标原点.记Sn=a1+a2+-+an.(1)若C的方程为=1,n=3,点P1且S3=255.求点P3的坐标,(2)若C的方程为+=1.点P1(a,0).对于给定的自然数n.当� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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设P₁(x₁,y₁),P₂(x₂,y₂),…,P_n(x_n,y_n)(n≥3,n∈N)是二次曲线C上的点，且a₁=|OP₁|²,a₂=|OP₂|²,…,a_n=|OP_n|²构成了一个公差为d(d≠0)的等差数列，其中O是坐标原点，记S_n=a₁+a₂+…+a_n.

(1)若C的方程为=1,n=3,点P₁(10，0)且S₃=255，求点P₃的坐标；(只需写出一个)

(2)若C的方程为+=1(a＞b＞0)，点P₁(a,0)，对于给定的自然数n，当公差d变化时，求S_n的最小值.

(1)解：a₁=|OP₁|²=100,

由S₃=(a₁+a₃)=255,得

a₃=|OP₃|²=70.

由解得

∴点P₃的坐标为(2，).

(2)解法一：原点O到二次曲线C:+=1(a＞b＞0)上各点的最小距离为b，最大距离为a.

∵a₁=|OP₁|²=a²,

∴d＜0，且a_n=|OP_n|²=a²+(n-1)d≥b².

∴≤d＜0.

∵n≥3,＞0,

∴S_n=na²+d在［,0］上递增.

故S_n的最小值为na²+×=.

解法二：对每个自然数k(2≤k≤n),

由

解得y_k²=.

∵0＜y_k²≤b²,得≤d＜0,

∴≤d＜0.

以下与解法一相同.

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设P₁(x₁,y₁), P₁(x₂,y₂),…, P_n(x_n,y_n)(n≥3,n∈N) 是二次曲线C上的点, 且a₁=², a₂=², …, a_n=²构成了一个公差为d(d≠0) 的等差数列, 其中O是坐标原点. 记S_n=a₁+a₂+…+a_n.

(1) 若C的方程为=1,n=3. 点P₁(3,0) 及S₃=255, 求点P₃的坐标；

(只需写出一个)

(2)若C的方程为(a>b>0). 点P₁(a,0), 对于给定的自然数n, 当公差d变化时, 求S_n的最小值；

. (3)请选定一条除椭圆外的二次曲线C及C上的一点P₁,对于给定的自然数n,写出符合条件的点P₁, P₂,…P_n存在的充要条件,并说明理由.

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(只需写出一个)

(2) 若C的方程为y²=2px(p≠0). 点P₁(0,0), 对于给定的自然数n, 证明：

(x₁+p)², (x₂+p)², …,(x_n+p)²成等差数列；

(3) 若C的方程为(a>b>0). 点P₁(a,0), 对于给定的自然数n, 当公差d变化时, 求S_n的最小值.

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22.设P₁(x₁,y₁),P₂(x₂,y₂),…,P_n(x_n,y_n)(n≥3,n∈N)是二次曲线C上的点，且a₁=|OP₁|²,a₂=|OP₂|²,…,a_n=|OP_n|²构成了一个公差为d(d≠0)的等差数列，其中O是坐标原点.记S_n=a₁+a₂+…+a_n.

(1)若C的方程为－y²=1,n=3,点P₁(3，0)及S₃=162，求点P₃的坐标；(只需写出一个)