Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，侧面为正三角形，侧面底面，、分别为棱、的中点.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求证：平面平面；

（Ⅲ）在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）见解析（3）

【解析】分析：（Ⅰ）取的中点，连接、，可得，，从而得平面平面，因为平面，所以平面；（Ⅱ）由等腰三角形的性质，，因为，所以，由线面垂直的判定定理可得平面.

由面面垂直的判定定理可得结论；（Ⅲ）设与的交点为，过点作平面.如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，设，，所以，由，从而可得结果.

详解：(Ⅰ）法1：取的中点，连接、.则

，.

又因为、平面，，

、平面，，

所以，平面平面，

因为平面，

所以平面.

法2：取的中点，连接、，

因为，，

所以，

所以四边形为平行四边形，

所以.

又因为平面，平面，

所以平面.

（Ⅱ）法1：

因为，为棱的中点，

所以，

因为，为棱的中点，

所以，

由（Ⅰ）法2知，，

所以，

又因为，、平面，

所以平面.

又因为平面，

所以，平面平面.

法2：

设与的交点为，过点作平面.如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，则

，，，，

，，，

设平面的法向量为，则，

所以，

令，则，，所以；

设平面的法向量为，则，

所以，

令，则，，所以；

因为，

所以平面平面.

法3：

由法1知，

由法2知，所以，

，

所以，

又平面，，

所以平面，

又平面，

所以平面平面.

（Ⅲ）在棱上存在一点，使得平面，.

理由如下：

假设存在这样的点，设，，

所以

.

由，

解得.

当时，，又，，

所以平面.

所以在棱上存在一点，使得平面，.