Question

已知函数f（x）=-x³+kx²+5x+1，g（x）=-lnx+kx，其中k∈R．
（Ⅰ）当k=1时，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=0在区间（1，2）上有解，求实数k的取值范围；
（Ⅲ）设函数q(x)=

f(x)，x≤0 g(x)，x＞0

，是否存在正实数k，使得对于函数q（x）上任一点（横坐标不为0），总能找到另外惟一一点使得在这两点处切线的斜率相等？若存在，求k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先对函数求导，再令导函数为零，解得函数极值点，最后用单调性进行验证即可
（Ⅱ）先判断函数的连续性，再利用零点存在性理论，解不等式即可
（Ⅲ）先求出函数q(x)=

f(x)，x≤0 g(x)，x＞0

两段上的导函数，由导数的几何意义，研究导函数的函数值，再画出导函数的图象，数形结合解决问题

解答：解：（Ⅰ）对函数f（x）=-x³+kx²+5x+1求导，得，f′（x）=-3x²+2kx+5，
当k=1时，函数f（x）=）=-x³+x²+5x+1，f′（x）=-3x²+2x+5，
令f′（x）=0，即-3x²+2x+5=0，解得，x=-1或x=

5

3

，
当x∈（-∞，-1）时，f′（x）＜0，当x∈（-1，

5

3

）时，f′（x）＜0
当x∈（

5

3

，+∞）时，f′（x）＜0，
∴当x=-1函数f（x）有极小值为f（-1）=-2
当x=

5

3

函数f（x）有极大值为f（

5

3

）=

202

27

（Ⅱ）∵f（x）=-x³+kx²+5x+1为（1，2）上的连续函数，
∴f（x）=0在区间（1，2）上有解?f（1）×f（2）＜0
由f（1）×f（2）=（-1+k+6）（-8+4k+11）=（k+5）（4k+3）＜0
得-5＜k＜-

3

4

∴实数k的取值范围为-5＜k＜-

3

4

（Ⅲ）
∵f′（x）=-3x²+2kx+5，g′（x）=

kx-1

x

∵k＞0，两个导函数的图象如图
由图象可知，当且仅当k=5时，函数q（x）上任一点（横坐标不为0），总能找到另外惟一一点使得在这两点处切线的斜率相等，
∴k=5

点评：本题综合考察了导数的应用，特别是函数极值的求法和导数几何意义的应用，解题时要灵活运用数形结合思想、分类讨论思想，提高解题效率