Question

【题目】已知线段AB的端点B的坐标为（3,0），端点A在圆上运动；

（1）求线段AB中点M的轨迹方程；

（2）过点C（1,1）的直线m与M的轨迹交于G、H两点，当△GOH（O为坐标原点）的面积最大时，求直线m的方程并求出△GOH面积的最大值.

（3）若点C（1,1），且P在M轨迹上运动，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）设出A，M坐标，利用M为线段AB中点，确定A，M坐标之间的关系，根据点A在圆上运动，可得线段AB中点M的轨迹方程；（2）令，则，即时面积最大为2，从而得到直线m的方程；（3）设点，则，令，由直线与圆的位置关系得到的取值范围.

（1）解：设点

由中点坐标公式有

又点在圆上，将点坐标代入圆方程得：

点的轨迹方程为：

（2）令，则

当，即时面积最大为2

又直线过点，，∴到直线的距离为，当直线斜率不存在时，到的距离为1不满足，令

故直线的方程为：

（3）设点，由于点

则，令

有，由于点在圆上运动，故满足圆的方程.

当直线与圆相切时，取得最大或最小

故有

所以