Question

【题目】已知函数.

（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）求的单调区间；

（Ⅲ）若对于任意，都有，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)单调递增区间是； 的单调递减区间是；(Ⅲ)答案见解析.

【解析】试题分析：（Ⅰ）由f（1）=0，f′（1）=1；从而写出切线方程即可；

（Ⅱ）根据导数，求出导数等于0的根，分析导数函数值在根的左右的正负变化即可得出的单调区间；

（Ⅲ）当时，“”等价于“”.令， ，求导研究单调性求出在区间上的最大值为，即可求出实数的取值范围.

试题解析：

（Ⅰ）因为函数，

所以,

.

又因为，

所以曲线在点处的切线方程为.

（Ⅱ）函数定义域为，

由（Ⅰ）可知， .

令解得.

与在区间上的情况如下：

x
	↘	极小值	↗

所以， 的单调递增区间是；

的单调递减区间是.

（Ⅲ）当时，“”等价于“”.

令， ，

， .

当时， ，所以在区间单调递减.

当时， ，所以在区间单调递增.

而，

所以在区间上的最大值为.

所以当时，对于任意，都有.