Question

【题目】已知函数，.

（1）讨论函数的单调性；

（2）当时，函数在区间的最小值为，试比较与的大小.

Answer 1

【答案】（1）答案见解析.（2）

【解析】

（1）因为，，可得，分别讨论，和函数的单调性，即可求得答案；

（2）求得函数在区间的最小值，构造函数（），求其最值，即可求得答案.

，.

①当

当，即，

此时在是单调递增

当，即，

此时在是单调递减

②当

ⅰ.当时，即，不符题意；

ⅱ.当时，即，不符题意；

ⅲ. 当时，即，故

由，解得，

则当或，，此时是单调递增；

当，，此时是单调递减.

③当

ⅰ.当时，即

则在恒成立，此时是单调递减

ⅱ.当时，即，

则在恒成立，当且仅当等号成立

此时此时在是单调递减

ⅲ. 当时，即

故

由，解得，

则当或，，此时是单调递减；

当，，此时是单调递增.

（2）当时，

则当或，，此时是单调递增；

当，，此时是单调递减.

函数在区间上，

当，单调递减.

当，单调递增.

当，取得最小值，

令，（）

即

可得：（）

当，，可得单调递减；

当，，可得单调递增；

当时，取的最小值，

故

故