Question

【题目】已知函数．

（1）若函数在区间内是单调递增函数，求实数a的取值范围；

（2）若函数有两个极值点，，且，求证：．（注：为自然对数的底数）

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析

【解析】

（1）函数在区间上是单调递增函数，，化为：，.利用二次函数的单调性即可得出.

（2）在区间上有两个不相等的实数根，方程在区间上有两个不相等的实数根.令，利用根的分布可得的范围，再利用根与系数关系可得：，得，令.利用导数研究其单调性极值与最值即可得出.

（1）解：∵函数在区间上是单调递增函数，

∴，化为：，，

令，则时取等号.

.

∴实数的取值范围是；

（2）证明：在区间上有两个不相等的实数根，

即方程在区间上有两个不相等的实数根，

记，则，解得，

，

，

令，

，

记，

，

令在上单调递增.

，

因此函数存在唯一零点，使得，

当；当时，，

而在单调递减，在单调递增，

而，

，

，

∴函数在上单调递减，

，

可得：，

即.