Question

经过原点的直线l被圆C：x²+y²-2x+2

3

y+2=0截得的弦长为2，则l的倾斜角大小为（　　）

A．30°

B．150°

C．30°或90°

D．150°或90°

Answer 1

分析：把圆C的方程化为标准方程，找出圆心坐标和半径r，分两种情况考虑：当直线l的斜率不存在时，可得直线l即为y轴，满足被圆C截得的弦长为2，此时直线l为90°；当直线l的斜率存在时，设直线k的斜率为k，又直线l过原点，表示出直线l的方程，利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线l的距离d，由垂径定理及勾股定理得出d与r的关系式，将表示出的d及已知的r代入，得到关于k的方程，求出方程的解可得出k的值，再根据直线倾斜角与斜率的关系可得此时直线l的倾斜角，综上，得到所有满足题意的直线l的倾斜角的大小．

解答：解：将圆C化为标准方程得：（x-1）²+（y+

3

）²=2，
∴圆心坐标为（1，-

3

），半径r=

2

，
当直线l的斜率不存在时，显然直线l为y轴时，满足题意，此时l的倾斜角为90°；
当直线l的斜率存在时，设斜率为k，又直线l过原点，
∴直线l的方程为y=kx，即kx-y=0，
∴圆心到直线的距离d=

|k+ 3 |

1+k2

，又r=

2

，
∴2=2

r2-d2

，即r²=d²+1，
∴

(k+ 3 )2

1+k2

+1=（

2

）²，
整理得：1+k²=k²+2

3

k+3，即2

3

k=-2，
解得：k=-

3

3

，
设此时直线l的倾斜角为α，则有tanα=k=-

3

3

，
∴α=150°，
综上，l的倾斜角大小为90°或150°．
故选D

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，以及直线倾斜角与斜率的关系，涉及的知识有：点到直线的距离公式，圆的标准方程，垂径定理，勾股定理，以及特殊角的三角函数值，利用了分类讨论的思想，当直线与圆相交时，常常利用垂径定理由垂直得出中点，进而由弦长的一半，圆的半径及弦心距构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题．