Question

【题目】已知椭圆的中心在坐标原点，其焦点与双曲线的焦点重合，且椭圆的短轴的两个端点与其一个焦点构成正三角形.

（1）求椭圆的方程；

（2）过双曲线的右顶点作直线与椭圆交于不同的两点.

①设，当为定值时，求的值；

②设点是椭圆上的一点，满足，记的面积为的面积为，求的取值范围.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) ①.；②. .

【解析】

试题分析：

(1)由题意结合几何关系可求得.则椭圆的方程为.

(2)①.由题意可得双曲线右顶点为.分类讨论：

当直线的斜率存在时，联立直线方程与椭圆方程有，则时为定值.当直线的斜率不存在时，也满足，则当时为定值.

②.当直线斜率存在时，由题意结合平行关系可得.换元后利用二次函数的性质可得，当直线的斜率不存在时，，则的取值范围是.

试题解析：

（1）由题意得椭圆的焦点在轴上，设方程为，

其左右焦点为，所以，

又因为椭圆的短轴的两个端点与构成正三角形，所以

又因为，所以.

所以椭圆的方程为.

（2）①双曲线右顶点为.

当直线的斜率存在时，设的方程为

由得

设直线与椭圆交点，

则，

则，

所以

当，即时为定值.

当直线的斜率不存在时，直线的方程为

由得，不妨设，由可得.

，所以.

综上所述当时为定值.

②因为，所以，所以，

因为

原点到直线的距离为，

所以.

令，则，所以

因为，所以，所以，所以

当直线的斜率不存在时，

综上所述的取值范围是.