Question

如图，在底面是正方形的四棱锥P—ABCD中，PA⊥面ABCD，BD交AC于点E，F是PC中点，G为AC上一点．

（1）求证：BD⊥FG；
（2）确定点G在线段AC上的位置，使FG//平面PBD，并说明理由．
（3）当二面角B—PC—D的大小为时，求PC与底面ABCD所成角的正切值．

Answer 1

（1）根据题意，由于面ABCD，四边形ABCD是正方形，结合其性质可知PA⊥BD，AC⊥BD，进而得到证明。
（2）当G为EC中点    （3）

解析试题分析：解：方法一：（I）面ABCD，四边形ABCD是正方形，
其对角线BD，AC交于点E，∴PA⊥BD，AC⊥BD   
∴BD⊥平面APC，平面PAC，
∴BD⊥FG        3分
（II）当G为EC中点，即时，FG//平面PBD， 4分
理由如下：
连接PE，由F为PC中点，G为EC中点，知FG//PE，
而FG平面PBD，PB平面PBD， 故FG//平面PBD．    7分
（III）作BH⊥PC于H，连结DH，
∵PA⊥面ABCD，四边形ABCD是正方形，
∴PB=PD，
又∵BC=DC，PC=PC，
∴△PCB≌△PCD，
∴DH⊥PC，且DH=BH，
∴∠BHD主是二面角B—PC—D的平面角，    9分
即
∵PA⊥面ABCD，
∴∠PCA就是PC与底面ABCD所成的角   10分
连结EH，则



∴PC与底面ABCD所成角的正切值是…………12分
方法二解：以A为原点，AB，AD，PA所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图所示，

设正方形ABCD的边长为1，则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0）
D（0，1，0），P（0，0，a）（a>0）,
（I）

    …………3分
（II）要使FG//平面PBD，只需FG//EP，
而，
由可得，解得
    …………6分

故当时，FG//平面PBD …………7分
设平面PBC的一个法向量为
则，而
，取z=1，得，
同理可得平面PBC的一个法向量
设所成的角为0，
则
即
        …………10分
∵PA⊥面ABCD，∴∠PCA就是PC与底面ABCD所成的角，
      
∴PC与底面ABCD所成角的正切值是…………12分
考点：空间中的线面角以线线垂直的证明
点评：主要是考查了空间中的线线以及线面的位置关系的运用，以及线面角的求解，属于中档题。