Question

【题目】已知是等差数列的前n项和，，，是数列的前n项和，.

（1）求数列和的通项公式；

（2）设，数列的前n项和为，若只存在2个正整数n满足，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）由等差数列的通项公式和前n项和公式列方程可求出首项和公差，从而写出数列的通项公式；由可得到数列的递推关系式，构造数列，由等比数列的通项公式求出.（2）利用错位相减法求出数列的前n项和，再判断数列的增减性，根据题意得到结果.

解：（1）设等差数列的公差为d，

因为，，

所以，，

解得，.

因此数列的通项公式为.

由得，

当时，，；

当时，，

所以，

所以，，.

所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，所以，

所以数列的通项公式为.

（2）由（1）知，

所以，

，

所以，

又，

所以.

，

所以数列是递增的，

又，，，

所以，故实数的取值范围为.