Question

【题目】如图，在三棱柱中，四边形为菱形，，为等腰直角三角形，，，，则异面直线AB与所成角的余弦值为_______.

Answer 1

【答案】

【解析】

由于，所以或其补角为异面直线AB与所成的角，取AC的中点D，再结合已知可得，再.取的中点E，可证得，从而可求出，在中利用余弦定理可得的余弦值，也可建空间直角坐标系，利用空间向量求解.

解法一：在三棱柱中，，所以或其补角为异面直线AB与所成的角.取AC的中点D，连接，BD，因为为等腰直角三角形，D是AC的中点，所以，又，所以.因为四边形为菱形，，所以，.在中，，，，所以，即.又，所以平面ABC.取的中点E，连接，CE，易知，，所以四边形为平行四边形，所以，所以平面ABC，即平面，又平面，所以.连接，在中，，，所以，在中，，，，由余弦定理得，所以异面直线AB与所成角的余弦值为.

解法二：取AC的中点D，连接，BD，因为为等腰直角三角形，，D是AC的中点，所以，.又四边形为菱形，，所以，.在中，，，，所以，即.又，所以平面ABC，所以以D为坐标原点，以DB，DC，所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，所以，，所以，所以异面直线AB与所成角的余弦值为.

故答案为：