Question

【题目】如图，在三棱锥中，，是以为斜边的等腰直角三角形，为的中点，为的中点．

（1）求证：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析

（2）

【解析】

（1）先在中运用等边三角形的性质得，再在中利用勾股定理的逆定理得，最后利用线面垂直的判定定理证明即可；

（2）以所在的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求解．

（1）由题意，是边长为2的等边三角形，

因为为的中点，所以，且．

如图（1）所示，连接，因为是斜边长为2的等腰直角三角形，所以．

在中，，可得，所以，

又因为，平面平面，所以平面．

（2）由（1）可知平面，且，

分别以所在的直线为轴建立如图（2）所示的空间直角坐标系，

则，，

可得，，

设平面的法向量为，则 ，即，

取，则，所以为平面的一个法向量，

设与平面所成的角为，则，

故直线与平面所成角的正弦值为．