Question

【题目】已知函数的图象在点处的切线方程为．

（1）当时，证明：；

（2）设函数，当时，证明：；

（3）若数列满足：，，．证明：．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析．

【解析】

（1）由已知结合导数的几何意义可求，然后结合导数可求函数的单调性，进而可求的范围；

（2）先对求导，结合导数及（1）的结论可求函数的范围，即可证；

（3）结合（1）（2）的结论，结合对数的运算性质可证．

解：（1）由题知：，

所以，

所以，令，则，

当时，，在区间上单调递增；

当时，，在区间上单调递减；

所以，即

所以在区间上单调递减，

所以

又因为，所以，

所以

综上知：当时，

（2）由题意，因为

所以

由（1）知：在区间上单调递减，所以，

又因为当时，

所以，在区间上单调递增，所以

由（1）可知：，又，∴

综上可知：

（3）由（1）（2）知：

若，，若，

因为，∴，，

所以，，

当时，

当时，

所以，从而