Question

【题目】已知椭圆，点、、均在椭圆上，，点与点关于原点对称，的最大值为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若，求外接圆的半径的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

（1）设，由对称性求出的坐标，即可表示出，，根据向量的数量积的坐标表示求出，从而求得，，即可得到椭圆方程；

（2）由对称性，不妨设点在直线的右上方，因为，所以．

即可求出的方程，从而求出的坐标，即可得到，设圆心为，则，再由勾股定理计算可得；

解：（1）设，则，，

又，由对称性知，所以．①

，，

所以．

注意到，所以时上式取最大值，即．②

代入①得，，

所以椭圆的标准方程为．

（2）由对称性，不妨设点在直线的右上方，因为，所以．

因为，所以，即直线

将代入椭圆方程，得，解得或（舍去），所以，所以，．

设圆心为，则

由勾股定理：，即．