Question

【题目】调味品品评师的重要工作是对各种品牌的调味品进行品尝，分析、鉴定，调配、研发，周而复始、反复对比.对调味品品评师考核测试的一种常用方法如下：拿出n瓶外观相同但品质不同的调味品让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这n瓶调味品，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试.根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分.现设，分别以，，，表示第一次排序时被排为1，2，3，4的四种调味品在第二次排序时的序号，并令，则X是对两次排序的偏离程度的一种描述.（如第二次排序时的序号为1，3，2，4，则）.

（1）写出X的所有可能值构成的集合；

（2）假设，，的排列等可能地为1，2，3，4的各种排列，求X的数学期望；

（3）某调味品品评师在相继进行的三轮测试中，都有.

（i）试按（2）中的结果，计算出现这种现象的概率（假定各轮测试相互独立）；

（ⅱ）请你判断该调味品品评师的品味鉴别能力如何？并说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）5（3）（ⅰ）（ⅱ）我们认为该品酒师确定有良好的味觉鉴别功能，不是靠随机猜测.

【解析】

（1）在1，2，3，4中奇数与偶数各有两个，从而，中的奇数个数等于，中的偶数个数，进而与的奇偶性相同，由此能举出使得X所有可能值构成的集合.

（2）可用列表法列出1，2，3，4的一共24种排列，求得分布列进而求出X的数学期望.

（3）（ⅰ）首先，将三轮测试都有的概率记做p，由独立性假设能求出结果.

（ⅱ）由于是一个很小的概率，这表明如果仅凭随机猜测得到三轮测试都有的结果的可能性很小，从而我们认为该品酒师确定有良好的味觉鉴别功能，不是靠随机猜测.

（1）X的可能值集合为，

在1，2，3，4中奇数与偶数各有两个，

所以，中的奇数个数等于，中的偶数个数，

因此与的奇偶性相同，

从而必为偶数，X的值非负，且易知其值不大于8.

由此能举出使得X的值等于0，2，4，6，8各值的排列的例子.

（2）可用列表列出1，2，3，4的一共24种排列，如下表所示：

1	2	3	4	0		3	1	2	4	4
1	2	4	3	2		3	1	4	2	6
1	3	2	4	2		3	2	1	4	4
1	3	4	2	4		3	2	4	1	6
1	4	2	3	4		3	4	1	2	8
1	4	3	2	4		3	4	2	1	8
2	1	3	4	2		4	1	2	3	6
2	1	4	3	4		4	1	3	2	6
2	3	1	4	4		4	2	1	3	6
2	3	4	1	6		4	2	3	1	6
2	4	1	3	6		4	3	1	2	8
2	4	3	1	6		4	3	2	1	8

计算每种排列下的X值如上表所示，在等可能的假定下，得到

X	0	2	4	6	8
P

.

（3）（ⅰ）首先，将三轮测试都有的概率记做p，

由上述结果和独立性假设，得.

（ⅱ）由于是一个很小的概率，

这表明如果仅凭随机猜测得到三轮测试都有的结果的可能性很小，

所以我们认为该品酒师确定有良好的味觉鉴别功能，不是靠随机猜测.