Question

【题目】已知函数f（x）=4cosxsin（x+ ）+a的最大值为2．
（1）求a的值及f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的单调递增区间．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=4cosxsin（x+ ）+a=2 sinxcosx+2cos2x+a= sin2x+cos2x+1+a=2sin（2x+ ）+1+a，

∵sin（2x+ ）≤1，

∴f（x）≤2+1+a，

∴由已知可得2+1+a=2，

∴a=﹣1，

∴f（x）=2sin（2x+ ），

∴T= =π．

（2）解：函数f（x）=2sin（2x+ ），

∴当2kπ﹣ ≤2x+ ≤2kπ+ 时，即kπ﹣ ≤x≤kπ+ ，k∈Z，函数单调增，

∴函数的单调递增区间为[kπ﹣ ，kπ+ ，]（k∈Z）．

【解析】（1）利用两角和公式和倍角公式对函数解析式化简整理，利用函数的最大值求得a，进而求得函数解析式和最小正周期．（2）利用正弦函数图象的性质，求得函数递增区间．