Question

【题目】已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤ ），x=﹣ 为f（x）的零点，x= 为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（ ， ）单调，则ω的最大值为 ．

Answer 1

【答案】9
【解析】解：∵函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤ ），x=﹣ 为f（x）的零点，x= 为y=f（x）图象的对称轴， ∴ω（﹣ ）+φ=nπ，n∈Z，且ω +φ=n′π+ ，n′∈Z，
∴相减可得ω =（n′﹣n）π+ =kπ+ ，k∈Z，即ω=2k+1，即ω为奇数．
∵f（x）在（ ， ）单调，
（Ⅰ）若f（x）在（ ， ）单调递增，
则ω +φ≥2kπ﹣ ，且ω +φ≤2kπ+ ，k∈Z，
即﹣ω ﹣φ≤﹣2kπ+ ①，且ω +φ≤2kπ+ ，k∈Z ②，
把①②可得 ωπ≤π，∴ω≤12，故有奇数ω的最大值为11．
当ω=11时，﹣ +φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤ ，∴φ=﹣ ．
此时f（x）=sin（11x﹣ ）在（ ， ）上不单调，不满足题意．
当ω=9时，﹣ +φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤ ，∴φ= ，
此时f（x）=sin（9x+ ）在（ ， ）上单调递减，不满足题意；
故此时ω无解．
（Ⅱ）若f（x）在（ ， ）单调递减，
则ω +φ≥2kπ+ ，且ω +φ≤2kπ+ ，k∈Z，
即﹣ω ﹣φ≤﹣2kπ﹣ ③，且ω +φ≤2kπ+ ，k∈Z ④，
把③④可得 ωπ≤π，∴ω≤12，故有奇数ω的最大值为11．
当ω=11时，﹣ +φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤ ，∴φ=﹣ ．
此时f（x）=sin（11x﹣ ）在（ ， ）上不单调，不满足题意．
当ω=9时，﹣ +φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤ ，∴φ= ，
此时f（x）=sin（9x+ ）在（ ， ）上单调递减，满足题意；
故ω的最大值为9．
故答案为：9．
先跟据正弦函数的零点以及它的图象的对称性，判断ω为奇数，由f（x）在（ ， ）单调，分f（x）在（ ， ）单调递增、单调递减两种情况，分别求得ω的最大值，综合可得它的最大值．