Question

【题目】如图，在三棱锥中，，点分别是棱上的点满足．

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）取的中点，连接、,由平面几何的知识可得、，再由线面垂直的判定与性质即可得证；

（Ⅱ）过点作交的延长线于点，连接，过点作交于点，由面面垂直的判定与性质可得平面，即可得是所求线面角，由平面几何的知识结合余弦定理可得线段、的长度，即可得解.

（Ⅰ）证明：取的中点，连接、,因为，

故，且，所以平面，

又因为平面，故；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面，且平面，

故平面平面，过点作交的延长线于点，连接，

由平面平面可得平面，

过点作交于点，

所以平面，即是与平面所成的角．

过点作交于点，连接、，

因为，，

所以即，

所以，所以，

因为，所以，，

所以，,

由，得，，

又由得，

所以由余弦定理得，

故，

所以有，

所以直线与平面所成角的正弦值为．