Question

【题目】已知椭圆：，长半轴长与短半轴长的差为，离心率为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若在轴上存在点，过点的直线分别与椭圆相交于、两点，且为定值，求点的坐标．

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】

（1）由题意可得：a﹣b，，a2＝b2+c2．联立解得：a，c，b．可得椭圆C的标准方程．

（2）设M（t，0），P（x1，y1），Q（x2，y2）．分类讨论：①当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为：x＝my+t．与椭圆方程联立化为：（3m2+4）y2+6mty+3t2﹣12＝0．△＞0．可得|PM|2（1+m2），同理可得：|PQ|2＝（1+m2）．把根与系数的关系代入，化简整理可得．②当直线l的斜率为0时，设P（2，0），Q（﹣2，0）．|PM|＝|t+2|，|QM|＝|2﹣t|．代入同理可得结论．

（1）由题意可得：，，．

联立解得：，，，∴椭圆的标准方程为：.

（2）设，，．

①当直线的斜率不为0时，设直线的方程为：．

联立，化为：．．

∴，．

，同理可得：．

∴

.

∵为定值，∴必然有，解得．

此时为定值，．

②当直线的斜率为0时，设，．，．

此时，把代入可得：为定值．

综上①②可得：为定值，．