Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，且过点．

（1）求椭圆的方程；

（2）设点，点在轴上，过点的直线交椭圆交于，两点．

①若直线的斜率为，且，求点的坐标；

②设直线，，的斜率分别为，，，是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②存在，.

【解析】

（1）利用椭圆的离心率为、过点以及建立方程组，求出和的值即可；

（2）①设出直线的方程，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理和，得出的值即可；②假设成立，设，分别讨论直线的斜率是否为的情形，联立直线与圆锥曲线的方程以及利用，解出的值，求出点坐标即可.

（1）椭圆的离心率为，且过点．

，解之得：，

椭圆的方程为：；

（2）设，，

①设直线的方程为：，

由，得：，

，故，

，，

，解得．

；

②，设，

（ⅰ）当直线的斜率为时，，，

由，可得，解得，即；

（ⅱ）当直线的斜率不为时，设，，

设直线的方程为，

由，得：

，．

由，可得，

，

，

，

，

当时，上式恒成立.

综上，存在定点，使得恒成立．