Question

【题目】已知二次函数对一切实数，都有成立，且，，.

（1）求的解析式；

（2）记函数在上的最大值为，最小值为，若，当时，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由题意可得出二次函数的对称轴为直线，结合可得出该二次函数的顶点坐标为，可设，再由求出实数的值，由此可得出函数的解析式；

（2）求出函数的解析式，分析该二次函数图象的对称轴与区间的位置关系，分析函数在区间上的单调性，求出和，然后解不等式，求出实数的取值范围，即可得出实数的最大值.

（1）对一切实数，都有成立，则二次函数的对称轴为直线，又，则二次函数图象的顶点坐标为，

设，则，因此，；

（2），对称轴为直线，，则.

当时，即当时，函数在区间上单调递增，

则，，则，得，此时；

当时，即当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，，，，且，，

则，整理得，解得，此时，.

因此，，则实数的最大值为.